1. В параллелограмме ABCD ∠A=45°, AB=3√2, BC=5. Найти скалярное произведение векторов: a) AD⋅AB; б) BA⋅BC; в) AD⋅BH

a) AD⋅AB: В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC = 5. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Угол между векторами AD и AB равен углу A, то есть 45°. AD⋅AB = |AD|⋅|AB|⋅cos(∠A) = 5⋅3√2⋅cos(45°)= 5⋅3√2⋅(√2/2) = 15 б) BA⋅BC: Угол между векторами BA и BC равен 180° - 45° = 135°. |BA| = |AB| = 3√2 BA⋅BC = |BA|⋅|BC|⋅cos(135°)= 3√2⋅5⋅(-√2/2) = -15 в) AD⋅BH: Чтобы найти это скалярное произведение, нужно найти длину вектора BH, который является высотой, опущенной из вершины B на сторону AD, и угол между AD и BH. Из параллелограмма ABCD можно сделать вывод, что AH = AB * cos(45) = 3√2 * (√2/2) = 3 Теперь найдем BH: BH = AB * sin(45) = 3√2 * (√2/2) = 3 Так как BH это перпендикуляр к AD, то угол между векторами AD и BH 90 градусов AD⋅BH = |AD|⋅|BH|⋅cos(90°) = 5 * 3 * 0= 0 Ответ: a) 15; б) -15; в) 0