Задание 5*. В окружности с центром O проведен диаметр AB, пересекающий хорду CD в точке K, причем K - середина хорды. Известно, что ∠CAD = 40°. Найдите ∠BAD.

1) Так как диаметр AB перпендикулярен хорде CD и K - середина хорды, то AK является высотой и медианой треугольника ACD. 2) Следовательно, треугольник ACD равнобедренный, и AC=AD, то есть ∠ACD=∠ADC. 3) В треугольнике ACD, ∠CAD = 40°. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, значит, ∠ACD+∠ADC= 180° - 40°= 140°. Так как ∠ACD=∠ADC, каждый из углов ∠ACD и ∠ADC равен 70°. 4) Угол ∠ACB - вписанный, опирается на диаметр AB, значит он прямой ∠ACB = 90°. 5) Найдем ∠BAC: ∠BAC= 90°-∠ACD = 90°-70° = 20°. 6) Угол ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 20° + 40° = 60°. Ответ: ∠BAD = 60°.