ЗАДАНИЕ №1: Стая уток после долгого перелёта опустилась на озеро передохнуть. Квадрат седьмой части всех уток радостно закрякал. А оставшиеся 10 уток так утомились, что сразу заснули. Сколько уток в стае?

Пусть \( x \) - общее количество уток в стае. Седьмая часть уток - это \( \frac{x}{7} \), и их квадрат равен \( \left(\frac{x}{7}\right)^2 \). Оставшиеся утки - это общее количество минус те, что закрякали, то есть \( x - \left(\frac{x}{7}\right)^2 \). По условию, оставшихся уток было 10. Составим уравнение: \( x - \left(\frac{x}{7}\right)^2 = 10 \) \( x - \frac{x^2}{49} = 10 \) Умножим обе части уравнения на 49, чтобы избавиться от дроби: \( 49x - x^2 = 490 \) Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 49x + 490 = 0 \) Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 * 1 * 490 = 2401 - 1960 = 441 \) \( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \) Теперь найдём корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 + 21}{2} = \frac{70}{2} = 35 \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 - 21}{2} = \frac{28}{2} = 14 \) Проверим оба корня: Для \( x = 35 \): \( \left(\frac{35}{7}\right)^2 = 5^2 = 25 \). Оставшиеся утки: \( 35 - 25 = 10 \) - подходит. Для \( x = 14 \): \( \left(\frac{14}{7}\right)^2 = 2^2 = 4 \). Оставшиеся утки: \( 14 - 4 = 10 \) - подходит. Оба значения являются решением. Однако, если перефразировать задачу, то при делении общего числа уток на 7 должна получится целая часть. То есть 14 и 35 подходят. Если в первом случае квадрат 1/7 части равен 4, то во втором случае 25. В таком случае мы можем ответить что 35 уток в стае. Ответ: 35