Задание 18: В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠CAB = 40°.

Пусть \(\angle CBY = x\). Так как \(AB = AC\), то \(\angle ABC = \angle ACB = (180° - 40°)/2 = 70°\). Так как \(AX = BX\), то \(\angle XAB = \angle XBA = 40°\), следовательно, \(\angle AXB = 180° - 40° - 40° = 100°\). Тогда \(\angle CBX = 70° - \angle XBA = 70° - 40° = 30°\). Так как \(BX = BY\), то \(\angle BXY = \angle BYX\). \(\angle BXA = 100°\), следовательно, \(\angle BXC = 180° - 100° = 80°\). \(\angle C = 70°\), значит, \(\angle XBC + \angle BXC + \angle C = 180°\), то есть \(\angle XBC = 30°\) (мы уже нашли). Тогда \(\angle BXY = \angle BYX = (180° - 30°)/2 = 75°\). Рассмотрим треугольник \(ABY\). \(AX = BX = BY\), значит \(BY = BX\). Пусть \(\angle CBY = x\), тогда \(\angle BYC = \angle C = 70°\), следовательно \(\angle YBC = x = 30^{\circ} \). Тогда \(\angle CBY= 30^{\circ} \). Ответ: 30