Задание 17: Упростите числовое выражение (1-√2)/(1+√2)² + (1+√3)/(1-√3)².

Упростим выражение: \[ \frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})^2} + \frac{1+\sqrt{3}}{(1-\sqrt{3})^2} \] \[ \frac{1-\sqrt{2}}{1 + 2\sqrt{2} + 2} + \frac{1+\sqrt{3}}{1 - 2\sqrt{3} + 3} \] \[ \frac{1-\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{1+\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}} \] Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на (3 - 2√2), а второй на (4 + 2√3): \[ \frac{(1-\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} + \frac{(1+\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})}{(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})} \] \[ \frac{3 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4}{9 - 8} + \frac{4 + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 6}{16 - 12} \] \[ \frac{7 - 5\sqrt{2}}{1} + \frac{10 + 6\sqrt{3}}{4} \] \[ 7 - 5\sqrt{2} + \frac{5 + 3\sqrt{3}}{2} \] \[ \frac{14 - 10\sqrt{2} + 5 + 3\sqrt{3}}{2} \] \[ \frac{19 - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{3}}{2} \] Ответ: \(\frac{19 - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{3}}{2}\)