Задание 17: В равнобедренном треугольнике ABC внешний угол при основании равен 150°, а медиана BM, проведённая к основанию, равна 26. Найдите боковую сторону треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Внешний угол при основании равен 150°, следовательно, внутренний угол при основании равен \(180° - 150° = 30°\). Пусть \(\angle BAC = \angle BCA = 30°\). Тогда угол при вершине B равен \(\angle ABC = 180° - 30° - 30° = 120°\). Медиана BM, проведённая к основанию AC, является также высотой и биссектрисой (так как треугольник ABC равнобедренный). Значит, треугольник ABM прямоугольный, и \(\angle ABM = \frac{120°}{2} = 60°\). В прямоугольном треугольнике ABM, где BM = 26 (катет, прилежащий к углу \(\angle ABM = 60°\)), нужно найти гипотенузу AB (боковую сторону треугольника ABC). Используем косинус угла ABM: \(\cos(\angle ABM) = \frac{BM}{AB}\) \(\cos(60°) = \frac{26}{AB}\) \(\frac{1}{2} = \frac{26}{AB}\) \(AB = 2 \cdot 26 = 52\) Боковая сторона треугольника ABC равна **52**.