Задание 18: В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB = BC = 8, медиана BM = √39. Найдите cos ∠BAC.

В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC = 8, медиана BM = \(\sqrt{39}\). Так как BM - медиана, она делит AC пополам, то есть AM = MC. Обозначим AM = MC = x. Рассмотрим треугольник ABM. В нём известны AB = 8, BM = \(\sqrt{39}\) и AM = x. Мы можем применить теорему косинусов для угла \(\angle BAM\) (угол \(\angle BAC\)): \(BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos(\angle BAM)\) \((\sqrt{39})^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(\angle BAC)\) \(39 = 64 + x^2 - 16x \cdot \cos(\angle BAC)\) Чтобы найти x, рассмотрим треугольник ABC и используем теорему косинусов для угла \(\angle ABC\). Пусть \(\angle BAC = \angle BCA = \alpha\). Тогда \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\) \((2x)^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(\angle ABC)\) \(4x^2 = 64 + 64 - 128 \cdot \cos(\angle ABC)\) \(4x^2 = 128 - 128 \cdot \cos(\angle ABC)\) Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, \(\angle ABC = 180° - 2\alpha\). Тогда \(\cos(\angle ABC) = \cos(180° - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) = -(2\cos^2(\alpha) - 1) = 1 - 2\cos^2(\alpha)\) \(4x^2 = 128 - 128(1 - 2\cos^2(\alpha))\) \(4x^2 = 128 - 128 + 256\cos^2(\alpha)\) \(4x^2 = 256\cos^2(\alpha)\) \(x^2 = 64\cos^2(\alpha)\) \(x = 8\cos(\alpha)\) Подставим x в первое уравнение: \(39 = 64 + (8\cos(\alpha))^2 - 16(8\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)\) \(39 = 64 + 64\cos^2(\alpha) - 128\cos^2(\alpha)\) \(39 = 64 - 64\cos^2(\alpha)\) \(-25 = -64\cos^2(\alpha)\) \(\cos^2(\alpha) = \frac{25}{64}\) \(\cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{25}{64}} = \pm \frac{5}{8}\) Поскольку угол \(\angle BAC\) острый, то косинус положительный. \(\cos(\angle BAC) = \frac{5}{8}\) Ответ: **5/8**.