Задание 18. Тип 17 № 2024. Коля и Ира не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Коля делает так: \( \frac{4}{2} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1} \). Ира считает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Ира делает так: \( \frac{8}{6} = \frac{8-4}{6-3} = \frac{4}{3} \). Коля и Ира (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь \( \frac{2018}{2019} \) по своим правилам и получили дробь с числителем 1966. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Решение: 1. Пусть Коля выполнил \( k \) операций, а Ира выполнила \( i \) операций, тогда \( k + i = 20 \). 2. После каждой операции Коли, числитель уменьшается на 2, а знаменатель на 1. После каждой операции Иры, числитель уменьшается на 4, а знаменатель на 3. 3. После 20 операций числитель стал 1966. Тогда: \( 2018 - 2k - 4i = 1966 \). 4. Упростим уравнение: \( 2k + 4i = 2018 - 1966 \), \( 2k + 4i = 52 \), \( k + 2i = 26 \). 5. Выразим \( k \) через \( i \): \( k = 26 - 2i \). 6. Подставим это выражение в уравнение \( k + i = 20 \): \( 26 - 2i + i = 20 \), \( 26 - i = 20 \), \( i = 6 \). 7. Найдем \( k \): \( k = 20 - 6 = 14 \). 8. Найдем, на сколько уменьшился знаменатель: \( 14 \times 1 + 6 \times 3 = 14 + 18 = 32 \). 9. Найдем знаменатель получившейся дроби: \( 2019 - 32 = 1987 \). Ответ: 1987.