Задание 28: Дано прямоугольный параллелепипед A...C₁, B₁D = 17, PABCD = 42, AD - CD = 3. Найти AA₁.

Пусть AD = a, CD = b. Тогда имеем систему уравнений: 1) a - b = 3 2) 2(a + b) = 42, следовательно, a + b = 21 Сложим уравнения (1) и (2): 2a = 24 a = 12 Тогда b = 21 - a = 21 - 12 = 9 Итак, AD = 12, CD = 9. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD: $BD^2 = BC^2 + CD^2$ $BD^2 = AD^2 + CD^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$ $BD = \sqrt{225} = 15$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник B₁BD. По теореме Пифагора: $B_1D^2 = B_1B^2 + BD^2$ Подставим значения: $17^2 = AA_1^2 + 15^2$ $289 = AA_1^2 + 225$ $AA_1^2 = 289 - 225 = 64$ $AA_1 = \sqrt{64} = 8$