Задание 16: Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=3, BC=72. Найдите длину отрезка AK.

Для решения этой задачи, мы будем использовать теорему о касательной и секущей. Согласно этой теореме, если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на её внешнюю часть. Пусть AK - касательная к окружности, а ABC - секущая. Тогда: \(AK^2 = AB \cdot AC\) Мы знаем, что AB = 3 и BC = 72. Следовательно, AC = AB + BC = 3 + 72 = 75. Теперь подставим значения в формулу: \(AK^2 = 3 \cdot 75\) \(AK^2 = 225\) \(AK = \sqrt{225}\) \(AK = 15\) Ответ: 15