Задача 4* (Вариант I): В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

**Решение:** Треугольники BOC и AOD подобны, так как BC || AD (основания трапеции). \(\angle BOC = \angle AOD\) как вертикальные, \(\angle OBC = \angle ODA\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Коэффициент подобия \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\) Подставим известное значение \(S_{AOD} = 45\): \(\frac{S_{BOC}}{45} = \frac{1}{9}\) Решим уравнение относительно \(S_{BOC}\): \(S_{BOC} = \frac{45}{9} = 5\) **Ответ: Площадь треугольника BOC равна 5 см².**