Задача 3: Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых вдвое больше другого. Докажите, что эта высота делит гипотенузу в отношении 3:1.

Пусть $ABC$ - прямоугольный треугольник с прямым углом $C$. Пусть $CD$ - высота, проведенная к гипотенузе $AB$. По условию, один из углов, образованных высотой $CD$ с катетами, вдвое больше другого. Пусть $\angle ACD = 2x$, а $\angle BCD = x$. Так как $\angle ACB = 90^{\circ}$, то $2x + x = 90^{\circ}$, значит, $3x = 90^{\circ}$ и $x = 30^{\circ}$. Тогда $\angle ACD = 60^{\circ}$ и $\angle BCD = 30^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $ACD$: $\angle CAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $BCD$: $\angle CBD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Пусть $AD = y$, $BD = z$. Надо доказать, что $z:y = 3:1$. Используем теорему о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: $AC^2 = AD \cdot AB = y(y+z)$ $BC^2 = BD \cdot AB = z(y+z)$ В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle B = 60^{\circ}$. Тогда $BC = \frac{1}{2} AB$, значит $AB = 2BC$. $AB = AD + DB = y + z = 2BC$. Применим теорему Пифагора к треугольнику $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2 = (y+z)^2$ $y(y+z) + z(y+z) = (y+z)^2$ Рассмотрим треугольник $BCD$. $\angle BCD=30$, следовательно $BD = \frac{\sqrt{3}}{3} CD $ , a $\angle CAD=60$, следовательно $AD = \sqrt{3} CD $. Таким образом $\frac{BD}{AD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} CD}{\sqrt{3} CD} = \frac{1}{3}$ или $AD = 3 BD$. Следовательно, гипотенуза делится в отношении 3:1. **Что и требовалось доказать.**