Задача 4: В ромбе ABCD АК – биссектриса угла CAB, ∠BAD = 60°, ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

1. **Анализ условия** Ромб ABCD, AK - биссектриса угла CAB, ∠BAD = 60°, BK = 12 см. Нужно найти площадь ромба. 2. **Угол ромба** Так как ∠BAD = 60°, то ∠BAC = ∠BAD / 2 = 60° / 2 = 30° (AK - биссектриса). 3. **Рассмотрим треугольник ABK** В треугольнике ABK угол ∠BAK = 30°. Треугольник ABK – прямоугольный, поскольку AK – биссектриса. Тогда ∠ABK = 90°. 4. **Сторона ромба** Пусть сторона ромба равна (a), тогда AB = a. В треугольнике ABK: Sin(∠BAK) = BK / AB Sin(30°) = 12 / a 1/2 = 12 / a a = 24 см (сторона ромба) 5. **Высота ромба** Площадь ромба можно найти как (S = a \cdot h), где (h) - высота ромба. Высоту можно найти, зная сторону и угол ромба (∠BAD = 60°). h = a \cdot Sin(∠BAD) h = 24 \cdot Sin(60°) h = 24 \cdot (\sqrt{3} / 2) h = 12\sqrt{3} см 6. **Площадь ромба** (S = a \cdot h = 24 \cdot 12\sqrt{3} = 288\sqrt{3}) см² Ответ: Площадь ромба равна (288\sqrt{3}) см².