Задача 17: В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD = 5, BC = 3, и угол при основании (например, угол A) равен 45°. Опустим высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, AH = KD. $AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH равен 45°, значит, угол ABH также равен 45° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°). Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, и BH = AH = 1. Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$ Подставим значения: $S = \frac{3 + 5}{2} \cdot 1 = \frac{8}{2} \cdot 1 = 4$ Ответ: 4