Задача 19. В равнобедренной трапеции основания равны 5 и 11, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где BC = 5, AD = 11 и угол A = 45°. 1. Проведем высоты BH и CK к основанию AD. Тогда AH = KD. 2. Так как AD = AH + HK + KD, а HK = BC = 5, то 11 = AH + 5 + KD, а значит, AH + KD = 6. Поскольку AH = KD, то AH = KD = 3. 3. В прямоугольном треугольнике ABH угол A = 45°, значит, угол ABH = 45°, и треугольник ABH равнобедренный, т.е. BH = AH = 3. 4. Площадь трапеции ABCD равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{5 + 11}{2} \cdot 3 = \frac{16}{2} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\] **Ответ: 24**