Задача 5: В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 32°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника.

Решение: 1. Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). Пусть \(CH\) - высота и \(CM\) - медиана, проведенные из вершины \(C\). Угол между ними \(\angle HCM = 32^{\circ}\). 2. Так как \(CM\) - медиана, проведенная к гипотенузе, то \(AM = BM = CM\). Следовательно, треугольник \(BCM\) - равнобедренный, и \(\angle MBC = \angle MCB\). 3. Обозначим \(\angle MBC = x\). Тогда \(\angle MCB = x\). 4. Угол \(\angle HCB = \angle MCB - \angle HCM = x - 32^{\circ}\). 5. Так как \(CH\) - высота, то треугольник \(ACH\) - прямоугольный, и \(\angle ACH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - (90^{\circ} - x) = x\). Также, \(\angle HCB + \angle BCH = 90 - \angle B\). Зная, что \(\angle ACB = 90^{\circ}\), получаем \(\angle ACH + \angle HCB = 90^{\circ}\). Значит, \(x - 32^{\circ} + \angle ACH =90^\circ\). Also, we know \(\angle A =90 - x\) 6. \(\angle HCB + \angle BCH = 90^\circ\) \(\angle ACH = 90^{\circ} - (90^{\circ} - x) = x\). From this, we can substitute and get: \(\angle HCB = 90^\circ - (90^\circ -x)\). Then, \(\angle HCB = 90- x\) Thus, (x-32 = (90-A)) 7. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, поэтому \(\angle A + \angle B = 90^{\circ}\). Так как \(\angle B = x\), то \(\angle A = 90^{\circ} - x\). С другой стороны, из \(\angle A = \angle HCB\), \(\angle HCB = 90^{\circ} - x\), from step 4 we know \(\angle HCB = x - 32^{\circ}\) So we have (x - 32 =90 - x\) (2x =122\) (x =61^\circ\) 8. Находим второй угол \(\angle A\): \(\angle A = 90^{\circ} - 61^{\circ} = 29^{\circ}\). 9. Меньший из углов равен \(29^{\circ}\). Ответ: 29