Задача 27: В четырёхугольнике ABCD точки N и K отмечены на сторонах BC и AD так, что BN = 2NC, а AK = KD. Площадь треугольника CKD равна 2, а площадь треугольника ABN равна 6. Какова площадь четырёхугольника ABCD?

Обозначим площадь четырёхугольника ABCD как S. Так как BN = 2NC, то BC = BN + NC = 2NC + NC = 3NC. Следовательно, \(\frac{NC}{BC} = \frac{1}{3}\). Так как AK = KD, то AD = AK + KD = 2AK. Следовательно, \(\frac{AK}{AD} = \frac{1}{2}\). Площадь треугольника ABN равна 6, а площадь треугольника CKD равна 2. \(S_{ABN} = \frac{1}{2} * AB * BN * sin(∠B) = 6\) \(S_{CKD} = \frac{1}{2} * CD * CK * sin(∠C) = 2\) Площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} * AB * BC * sin(∠B)\). Так как \(\frac{BN}{BC} = \frac{2}{3}\), то \(S_{ABC} = \frac{3}{2} * S_{ABN} = \frac{3}{2} * 6 = 9\). Площадь треугольника ACD равна \(\frac{1}{2} * AD * CD * sin(∠D)\). Так как \(\frac{AK}{AD} = \frac{1}{2}\), то \(S_{AKC} = S_{CKD} = 2\) Площадь треугольника AKD равна площади треугольника AKC, так как AK = KD. Площадь треугольника ACD равна \(S_{AKD} + S_{CKD} = S_{AKC} + S_{CKD}\). Так как \(\frac{AK}{AD} = \frac{1}{2}\), то \(S_{ACD} = 2 * S_{AKC} = 2 * S_{CKD} = 2 * 2 = 4\) Площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и ACD: \(S = S_{ABC} + S_{ACD} = 9 + 4 = 13\) Ответ: (A) 13