Задача 4: Упростите выражения: a) \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha - \sin^2 \beta\) b) \(\frac{\sin(45^\circ - \alpha)}{\cos(45^\circ + \alpha)}\) c) \(\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}\) d) \(\frac{1 - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot (1 + \sin^2 \alpha)}\)

a) **Упростим \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha - \sin^2 \beta\)**: Мы знаем, что \(\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}\), следовательно, \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\). Тогда выражение упрощается до: \(1 - \sin^2 \beta\). Используя основное тригонометрическое тождество, \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\), получаем: \(1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta\). **Ответ:** \(\cos^2 \beta\). b) **Упростим \(\frac{\sin(45^\circ - \alpha)}{\cos(45^\circ + \alpha)}\)**: Используем формулы приведения или формулы косинуса суммы: \(\cos(45^\circ + \alpha) = \cos 45^\circ \cos \alpha - \sin 45^\circ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)\) \(\sin(45^\circ - \alpha) = \sin 45^\circ \cos \alpha - \cos 45^\circ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)\) Следовательно, \(\frac{\sin(45^\circ - \alpha)}{\cos(45^\circ + \alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)} = 1\). **Ответ:** 1. c) **Упростим \(\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}\)**: Используем формулы двойного угла: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1\). Тогда выражение становится: \(\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + 2 \cos^2 \alpha - 1} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha\). **Ответ:** \(\tan \alpha\). d) **Упростим \(\frac{1 - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot (1 + \sin^2 \alpha)}\)**: Разложим числитель как разность квадратов: \(1 - \sin^4 \alpha = (1 - \sin^2 \alpha)(1 + \sin^2 \alpha)\). Тогда выражение становится: \(\frac{(1 - \sin^2 \alpha)(1 + \sin^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha \cdot (1 + \sin^2 \alpha)}\). Сокращаем \((1 + \sin^2 \alpha)\): \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\). Так как \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), выражение упрощается до: \(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha\). **Ответ:** \(\cot^2 \alpha\).