Задача 6: Треугольник ABC - прямоугольный (угол C = 90°), AC = 4 см, проекция катета BC на гипотенузу равна 6 см. Найдите длину гипотенузы треугольника ABC.

**Решение:** 1. Обозначим гипотенузу AB как *c*, катет BC как *a*, проекцию катета BC на гипотенузу как *a'*. Дано: AC = 4 см, a' = 6 см. 2. Применим теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. [a^2 = c cdot a'\] Мы также знаем, что по теореме Пифагора: [AC^2 + BC^2 = AB^2] [4^2 + a^2 = c^2] [16 + a^2 = c^2] 3. Выразим (a^2) из первого уравнения: (a^2 = 6c). Подставим это во второе уравнение: [16 + 6c = c^2] 4. Получим квадратное уравнение относительно *c*: [c^2 - 6c - 16 = 0] 5. Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом: Дискриминант: (D = (-6)^2 - 4 cdot 1 cdot (-16) = 36 + 64 = 100). Корни: (c_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}). (c_1 = \frac{6 + 10}{2} = 8), (c_2 = \frac{6 - 10}{2} = -2). Так как длина не может быть отрицательной, то (c = 8). **Ответ:** Длина гипотенузы треугольника ABC равна 8 см.