Задача 4: Правильный треугольник и правильный шестиугольник вписаны в одну окружность. Найдите площади этих фигур, если радиус вписанной окружности треугольника равен $\sqrt{3}$.

Решение: Радиус вписанной окружности правильного треугольника равен $r_3 = \sqrt{3}$. Тогда сторона треугольника $a_3 = 2\sqrt{3} \cdot r_3 = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$. Площадь треугольника: $S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$. Радиус описанной окружности треугольника: $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. Так как шестиугольник вписан в ту же окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника: $a_6 = R = 2\sqrt{3}$. Площадь шестиугольника: $S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 18\sqrt{3}$. Ответ: Площадь треугольника: $9\sqrt{3}$ Площадь шестиугольника: $18\sqrt{3}$