Задача 4: Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна \(3\pi\), а угол сектора равен 240°.

Длина дуги сектора связана с радиусом круга и углом сектора формулой \(L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r\), где \(L\) - длина дуги, \(\theta\) - угол сектора, \(r\) - радиус круга. Из этой формулы можно выразить радиус: \(r = \frac{L \times 360}{\theta \times 2\pi}\). Подставляем известные значения \(L = 3\pi\) и \(\theta = 240\): \[r = \frac{3\pi \times 360}{240 \times 2\pi} = \frac{3 \times 360}{240 \times 2} = \frac{1080}{480} = \frac{9}{4}\] Теперь можно найти площадь сектора по формуле \(S = \frac{\theta}{360} \pi r^2\): \[S = \frac{240}{360} \times \pi \times (\frac{9}{4})^2 = \frac{2}{3} \times \pi \times \frac{81}{16} = \frac{2}{3} \times \frac{81\pi}{16} = \frac{27\pi}{8}\] Ответ: Площадь сектора равна \(\frac{27\pi}{8}\).