Задача 18: Из точки M к окружности с центром O и радиусом, равным 3, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если \(\angle AOB = 120^\circ\).

Так как MA и MB - касательные к окружности, то углы \(\angle MAO\) и \(\angle MBO\) прямые (равны 90°). Рассмотрим четырехугольник MAOB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому: \(\angle AMB = 360^\circ - \angle MAO - \angle MBO - \angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) Рассмотрим треугольник AOM. Он прямоугольный, так как \(\angle MAO = 90^\circ\). Угол \(\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\). Так как \(OA = 3\) (радиус), то можно найти AM, используя тангенс угла AOM: \(tg(\angle AOM) = \frac{AM}{OA}\) \(AM = OA \cdot tg(60^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) Рассмотрим треугольник AMB. Он равнобедренный, так как AM = BM (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). Угол \(\angle AMB = 60^\circ\), значит, углы при основании AB тоже равны 60°, то есть треугольник AMB равносторонний. Следовательно, AB = AM = BM = \(3\sqrt{3}\). Ответ: \(3\sqrt{3}\)