Задача 2: Два отрезка AB и CD пересекаются в точке O, которая является их общей серединой. Докажите, что AC || BD.

Решение: По условию, точка O - середина отрезков AB и CD. Это значит, что AO = OB и CO = OD. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. 1. AO = OB (по условию). 2. CO = OD (по условию). 3. ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы). Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAO = ∠DBO. Углы CAO и DBO являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей AB. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AC || BD. Ответ: AC || BD.