Задача №5 *. В трапеции ABCD BC и AD - основания трапеции. Найдите площадь трапеции ABCD, если AB=13 см, BC=8 см, CD=15 см, AD=22 см.

Для решения этой задачи нужно провести высоты из точек B и C к основанию AD, обозначим их BH и CF. Тогда AH + HF + FD = AD, где HF = BC = 8 см. Пусть AH = x, тогда FD = AD - AH - HF = 22 - x - 8 = 14 - x. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и CDF. По теореме Пифагора: \(BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2\) \(CF^2 = CD^2 - FD^2 = 15^2 - (14 - x)^2 = 225 - (196 - 28x + x^2) = 29 + 28x - x^2\) Так как BH = CF, то \(BH^2 = CF^2\): \(169 - x^2 = 29 + 28x - x^2\) \(169 - 29 = 28x\) \(140 = 28x\) \(x = 5\) Тогда AH = 5 см, FD = 14 - 5 = 9 см. Теперь найдем высоту BH: \(BH = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) см. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{8 + 22}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180\) см². **Ответ:** 180 см².