2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна $\sqrt{6}$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. a) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a) Пусть $H$ - высота пирамиды, $a$ - сторона основания пирамиды, $l$ - боковое ребро пирамиды. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Тогда: $\tan{60°} = \frac{H}{\frac{d}{2}} = \frac{2H}{d}$ $d = \frac{2H}{\tan{60°}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$ Так как основание - квадрат, то диагональ равна $a\sqrt{2}$. Значит, $a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$, откуда $a = 2$ см. Теперь найдем боковое ребро $l$: $\cos{60°} = \frac{d/2}{l}$ $l = \frac{d}{2\cos{60°}} = \frac{2\sqrt{2}}{2 * \frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$ см Ответ: $2\sqrt{2}$ см б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Для этого нам понадобится апофема (высота боковой грани). Сначала найдем половину стороны основания: $\frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром. Апофему обозначим как $h_a$. $h_a = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{8 - 1} = \sqrt{7}$ см Площадь одной боковой грани равна: $S_{грани} = \frac{1}{2} * a * h_a = \frac{1}{2} * 2 * \sqrt{7} = \sqrt{7}$ см$^2$ Так как боковых граней 4, то площадь боковой поверхности равна: $S_{бок} = 4 * S_{грани} = 4\sqrt{7}$ см$^2$ Ответ: $4\sqrt{7}$ см$^2$