3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна $16\sqrt{2}$ см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда

Обозначим меньшую диагональ ромба $d_1 = 12$ см, большую диагональ параллелепипеда $D = 16\sqrt{2}$ см, угол между большей диагональю и боковым ребром $\alpha = 45°$. Пусть сторона ромба равна $a$, большая диагональ ромба $d_2$, боковое ребро (высота) параллелепипеда $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $h$, большей диагональю параллелепипеда $D$ и большей диагональю ромба $d_2$. Так как угол между $D$ и $h$ равен $45°$, то $\cos{45°} = \frac{h}{D}$ $h = D \cos{45°} = 16\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$ см Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, большей диагональю $d_2$ и диагональю параллелепипеда $D$. По теореме Пифагора: $d_2^2 + h^2 = D^2$ $d_2^2 = D^2 - h^2 = (16\sqrt{2})^2 - 16^2 = 512 - 256 = 256$ $d_2 = \sqrt{256} = 16$ см Площадь ромба в основании равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} * 12 * 16 = 96$ см$^2$ Сторону ромба найдем по формуле: $a = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 16^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 256} = \frac{1}{2} \sqrt{400} = \frac{1}{2} * 20 = 10$ см Площадь боковой поверхности равна: $S_{бок} = P_{осн} * h = 4 * a * h = 4 * 10 * 16 = 640$ см$^2$ Площадь полной поверхности равна: $S_{полн} = 2 * S_{осн} + S_{бок} = 2 * 96 + 640 = 192 + 640 = 832$ см$^2$ Ответ: 832 см$^2$