Вопрос 6: Решить уравнение: \(2 \sin^2 x - 3 \cos x = 3\)

Решим уравнение \(2 \sin^2 x - 3 \cos x = 3\). Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), тогда \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Подставим в уравнение: \(2(1 - \cos^2 x) - 3 \cos x = 3\) \(2 - 2 \cos^2 x - 3 \cos x - 3 = 0\) \(-2 \cos^2 x - 3 \cos x - 1 = 0\) \(2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 = 0\) Сделаем замену \(t = \cos x\), тогда уравнение примет вид: \(2t^2 + 3t + 1 = 0\) Решаем квадратное уравнение: \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\) \(t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\) \(t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1\) Возвращаемся к замене: 1) \(\cos x = -\frac{1}{2}\) \(x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2 \pi n, n \in Z\) \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, n \in Z\) 2) \(\cos x = -1\) \(x = \arccos(-1) + 2 \pi n, n \in Z\) \(x = \pi + 2 \pi n, n \in Z\) \(x = \pi (2n + 1), n \in Z\) Выражение \(\pi (2n + 1)\) содержится в \(\pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, n \in Z\), поэтому итоговое решение: \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, n \in Z\). Но среди предложенных вариантов ответа такого нет. Возможная опечатка, должно быть: \(x = -\frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z\). Проверим: Если \(x = -\frac{2\pi}{3} + \pi n\), то при \(n=0\) имеем \(x = -\frac{2\pi}{3}\), тогда \(\cos x = -\frac{1}{2}\) и \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(2 \cdot \frac{3}{4} - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3\) - верно. При \(n=1\) имеем \(x = \frac{\pi}{3}\), тогда \(\cos x = \frac{1}{2}\) и \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \(2 \cdot \frac{3}{4} - 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0
e 3\) - не верно. Наиболее вероятно, что в условии опечатка и должно быть \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, n \in Z\). Ответ: x = -\frac{2\pi}{3} + \pi n, n ∈ Z