13. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, $\sin A = \frac{1}{3}$. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике $ABC$, $\sin A = \frac{BC}{AB}$. В прямоугольном треугольнике $ACH$, $\cos A = \frac{AH}{AC}$. Нам дано $\sin A = \frac{1}{3}$ и $AB = 45$. Сначала найдем $AC$. Зная, что $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, найдем $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Из треугольника $ABC$ найдем $AC$:$\cos A = \frac{AC}{AB} => AC = AB*\cos A $ Так как $\triangle ACH$ - прямоугольный: $\cos A = \frac{AH}{AC}$ или $AH = AC \cos A = AB \cdot \cos^2 A = 45 \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 45 \cdot \frac{8}{9} = 5 \cdot 8 = 40$. Ответ: **40**