40. В треугольнике ABC угол C прямой, AC=16, sinA = 15/17. Найдите АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). $$sinA = \frac{BC}{AB}$$ Однако, нам дан катет AC, прилежащий к углу A, и нужно найти гипотенузу AB. Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее синус и косинус угла A: $$sin^2A + cos^2A = 1$$ Выразим $cosA$: $$cos^2A = 1 - sin^2A$$ $$cosA = \sqrt{1 - sin^2A}$$ Подставим известное значение $sinA = \frac{15}{17}$: $$cosA = \sqrt{1 - (\frac{15}{17})^2} = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{289 - 225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$$ Теперь, зная $cosA$ и $AC$, найдем AB, используя формулу: $$cosA = \frac{AC}{AB}$$ $$AB = \frac{AC}{cosA}$$ Подставим $AC = 16$ и $cosA = \frac{8}{17}$: $$AB = \frac{16}{\frac{8}{17}} = 16 * \frac{17}{8} = 2 * 17 = 34$$ Ответ: AB = 34