7. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 24.

Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный. Следовательно, углы BAC и ACB равны, и ∠BAC = 75°. Тогда угол ABC = 180° - 75° - 75° = 30°. Так как AX = BX, то треугольник ABX равнобедренный, и углы BAX и ABX равны. Следовательно, ∠BAX = ∠ABX = 30°. По условию, ∠BAX = ∠YAX. Значит, ∠YAX = 30°. Тогда угол BAY = ∠BAX + ∠YAX = 30° + 30° = 60°. Рассмотрим треугольник ABY. У него угол BAY = 60°, а угол ABY = 30°. Тогда угол AYB = 180° - 60° - 30° = 90°. Значит, треугольник ABY прямоугольный с углом AYB = 90°. В прямоугольном треугольнике ABY катет AY, прилежащий к углу BAY = 60°, равен половине гипотенузы AB. AY = AX * cos(30) = 24 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} Ответ: 48