1. В треугольнике ABC проведена высота AH. Известно, что ∠ABC = 60°, ∠CAH = 45°. Укажите номера верных утверждений: 1) AB = 2AH 2) AB = 2BH 3) AC = 2CH 4) AB = AC 5) BH = CH 6) AH = CH

Рассмотрим треугольник ABH. Так как AH - высота, то ∠AHB = 90°. Из условия ∠ABC = 60°. Тогда ∠BAH = 180° - 90° - 60° = 30°. 1) AB = 2AH. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. В треугольнике ABH против угла 30° лежит катет BH. Тогда AB = 2BH. Утверждение неверно. 2) AB = 2BH. Это верно, как мы показали выше. 3) Рассмотрим треугольник AHC. ∠AHC = 90°, ∠CAH = 45°. Тогда ∠ACH = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник AHC равнобедренный, AH = CH. Рассмотрим, когда AC = 2CH. AC = \(\sqrt{AH^2 + CH^2}\) = \(\sqrt{2CH^2}\) = CH\(\sqrt{2}\). Утверждение неверно. 4) AB = AC. Из треугольника ABH: BH = AB/2, AH = AB\(\sqrt{3}\)/2. Из треугольника AHC: AH = CH, AC = CH\(\sqrt{2}\). Тогда AC = AB\(\sqrt{3}\)/2 * \(\sqrt{2}\) = AB\(\sqrt{6}\)/2. Утверждение неверно. 5) BH = CH. BH = AB/2, CH = AB\(\sqrt{3}\)/2. Утверждение неверно. 6) AH = CH. Мы доказали, что треугольник AHC равнобедренный и AH = CH. Это верно. Ответ: 2, 6