2. В треугольнике ABC отношение углов A, B и C равно 3:2:5 соответственно, отрезок BM — биссектриса треугольника. Через вершину C параллельно прямой BM провели луч CK так, что точки B и K оказались в одной полуплоскости относительно прямой AC и BC = CK. Найдите градусную меру угла MBK.

Пусть углы треугольника ABC равны \(3x\), \(2x\) и \(5x\) соответственно. Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), имеем: \[3x + 2x + 5x = 180^{\circ}\] \[10x = 180^{\circ}\] \[x = 18^{\circ}\] Тогда \(\angle A = 3x = 3 \cdot 18^{\circ} = 54^{\circ}\), \(\angle B = 2x = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}\), \(\angle C = 5x = 5 \cdot 18^{\circ} = 90^{\circ}\). Так как BM — биссектриса угла B, то \(\angle ABM = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 36^{\circ} = 18^{\circ}\). Поскольку CK параллельна BM, то \(\angle MCK = \angle CMB\) как накрест лежащие углы. Угол \(\angle CMB\) является внешним углом треугольника ABM, поэтому \(\angle CMB = \angle A + \angle ABM = 54^{\circ} + 18^{\circ} = 72^{\circ}\). Значит, \(\angle MCK = 72^{\circ}\). Так как BC = CK, треугольник BCK равнобедренный, и \(\angle CBK = \angle CBK = \angle CBK\). Тогда \[\angle BKC = \frac{180^{\circ} - \angle BCK}{2}\] \[\angle BCK = 180^{\circ} - \angle ACB - \angle MCK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} = 18^{\circ}\] \[\angle CBK = \frac{180^{\circ} - 18^{\circ}}{2} = \frac{162^{\circ}}{2} = 81^{\circ}\] Угол \(\angle MBK = \angle CBK - \angle CBM = 81^{\circ} - 18^{\circ} = 63^{\circ}\). Ответ: 63°