4. В треугольнике ABC \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), BC = \(3\sqrt{2}\). Найдите AC.

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой синусов: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\] Где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), \(C\) - противолежащие им углы. В нашем случае: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(BC = a = 3\sqrt{2}\). Нужно найти \(AC = b\). Сначала найдем угол \(C\): \[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\] Теперь воспользуемся теоремой синусов: \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\] \[\frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}\] Мы знаем, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим эти значения: \[\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\] \[\frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot AC}{\sqrt{3}}\] \[6 = \frac{2 \cdot AC}{\sqrt{3}}\] \[AC = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\] Ответ: \(AC = 3\sqrt{3}\).