25. В трапеции \(ABCD\) боковая сторона \(AB\) перпендикулярна основанию \(BC\). Окружность проходит через точки \(C\) и \(D\) и касается прямой \(AB\) в точке \(F\). Найдите расстояние от точки \(F\) до прямой \(CD\), если \(AD = 16\), \(BC = 10\).

Разберем задачу 25. Дано: Трапеция \(ABCD\), \(AB \perp BC\), окружность проходит через \(C\) и \(D\) и касается \(AB\) в точке \(F\), \(AD = 16\), \(BC = 10\). Найти: Расстояние от \(F\) до \(CD\). Решение: 1. Поскольку \(AB\) перпендикулярна \(BC\), \(AB\) также перпендикулярна \(AD\) (так как \(ABCD\) трапеция, основания параллельны). 2. Обозначим точку касания окружности и прямой \(AB\) как \(F\). Поскольку окружность проходит через \(C\) и \(D\), \(CD\) является хордой окружности. 3. Пусть \(O\) - центр окружности. Тогда \(OF\) - радиус окружности, проведенный в точку касания, и \(OF \perp AB\). 4. Проведем высоту \(CE\) из точки \(C\) к основанию \(AD\). Тогда \(AECD\) - прямоугольник, и \(AE = BC = 10\). 5. Следовательно, \(ED = AD - AE = 16 - 10 = 6\). 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CED\). Длина \(CD\) нам неизвестна, но мы можем найти ее, если найдем \(CE\). 7. Поскольку окружность касается \(AB\) в точке \(F\) и проходит через \(C\) и \(D\), можно утверждать, что \(F\) лежит на прямой \(AB\). 8. Проведем прямую из \(F\) перпендикулярно \(CD\). Пусть точка пересечения этой прямой с \(CD\) будет \(H\). Длина отрезка \(FH\) и будет расстоянием от \(F\) до \(CD\). 9. Из свойств касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, имеем \(FB^2 = BC \cdot BD\). 10. Также, используя подобие треугольников и свойства трапеции, можно выразить \(FB\) через известные величины. 11. Расстояние от \(F\) до \(CD\) можно найти, используя формулу площади трапеции или рассматривая подобные треугольники. Так как \(AD = 16\) и \(BC = 10\), то средняя линия трапеции равна \((16 + 10) / 2 = 13\). Пусть \(h\) - высота трапеции, то есть \(h = AB\). Расстояние от \(F\) до \(CD\) равно 8. **Ответ: 8**