403. В прямоугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\). Найдите периметр треугольника \(AOB\), если \(\angle CAD = 30^\circ\), \(AC = 12\) см.

Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\) с диагоналями, пересекающимися в точке \(O\). 1. **Свойство прямоугольника:** Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \(AO = OC = rac{1}{2}AC\) и \(BO = OD = rac{1}{2}BD\). Так как \(AC = BD\), то \(AO = BO = OC = OD\). 2. **Находим \(AO\) и \(BO\):** \(AO = BO = rac{1}{2}AC = rac{1}{2} cdot 12 = 6\) см. 3. **Рассмотрим треугольник \(AOD\):** Так как \(AO = BO\), треугольник \(AOB\) равнобедренный, и углы при основании равны. Однако, для нахождения периметра нам необходимо знать длину стороны \(AB\). 4. **Рассмотрим треугольник \(ACD\):** \(\angle CAD = 30^\circ\). В прямоугольнике \(\angle ADC = 90^\circ\), поэтому треугольник \(ACD\) прямоугольный. Используем тригонометрические функции. \(\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC}\) \(\sin(30^\circ) = \frac{CD}{12}\) \(\frac{1}{2} = \frac{CD}{12}\) \(CD = 6\) см. Так как \(ABCD\) прямоугольник, \(AB = CD = 6\) см. 5. **Находим периметр треугольника \(AOB\):** \(P_{AOB} = AO + BO + AB = 6 + 6 + 6 = 18\) см. **Ответ:** Периметр треугольника \(AOB\) равен \(18\) см.