404. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство: 1. **Дано:** Прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(\angle C\). \(CM\) - медиана, проведенная к гипотенузе \(AB\). 2. **Требуется доказать:** \(CM = \frac{1}{2}AB\). 3. **Доказательство:** * Опишем окружность вокруг треугольника \(ABC\) так, чтобы гипотенуза \(AB\) была диаметром этой окружности. * Центром окружности будет середина гипотенузы \(AB\), то есть точка \(M\). * Так как угол \(C\) прямой, он опирается на диаметр \(AB\), а значит, точка \(C\) лежит на окружности. * \(CM\) - это радиус окружности, проведенный из центра \(M\) к точке \(C\) на окружности. * Так как \(AM = MB = \frac{1}{2}AB\) (радиусы окружности), и \(CM\) тоже радиус, то \(CM = AM = MB = \frac{1}{2}AB\). Следовательно, медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Что и требовалось доказать.