5. В правильный шестиугольник вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник. Разность периметра шестиугольника и периметра треугольника равна √27 см. Найдите площадь круга, ограниченного данной окружностью.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна a, а сторона правильного треугольника равна b. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника. Периметр шестиугольника: $6a$ Периметр треугольника: $3b$ $6a - 3b = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см $2a - b = \sqrt{3}$ Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ Радиус окружности, описанной около правильного треугольника: $R = \frac{b}{\sqrt{3}}$ Так как $r = R$, то $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{\sqrt{3}}$ $3a = 2b$ $b = \frac{3a}{2}$ Подставим b в первое уравнение: $2a - \frac{3a}{2} = \sqrt{3}$ $\frac{a}{2} = \sqrt{3}$ $a = 2\sqrt{3}$ см $b = \frac{3 * 2\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см Радиус окружности: $r = \frac{2\sqrt{3} * \sqrt{3}}{2} = 3$ см Площадь круга: $S = \pi r^2 = \pi * 3^2 = 9\pi$ см$^2$ Ответ: $9\pi$ см$^2$