В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 18, а боковое ребро $AS$ равно 15. Найдите синус угла между прямыми $AB$ и $SD$.

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ основание является квадратом, и все боковые ребра равны. Таким образом, $SD = AS = 15$. Поскольку $AB$ и $CD$ параллельны, угол между $AB$ и $SD$ равен углу между $CD$ и $SD$, то есть углу $\angle CDS$. Обозначим сторону квадрата как $a = 18$, а боковое ребро как $b = 15$. Рассмотрим треугольник $SDC$. Он является равнобедренным, так как $SD = SC = 15$. Пусть $O$ - центр квадрата $ABCD$. Тогда $DO = \frac{1}{2}AC$. Так как $AC = a\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$, то $DO = 9\sqrt{2}$. Рассмотрим треугольник $SDO$. Он прямоугольный, так как $SO$ - высота пирамиды. Найдем $SO$ по теореме Пифагора: $SO = \sqrt{SD^2 - DO^2} = \sqrt{15^2 - (9\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 - 162} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Пусть $\alpha$ - угол $\angle SDA$. Тогда $CD = a = 18$, $SD = b = 15$, $AC = 18\sqrt{2}$. По теореме косинусов для треугольника $SDC$: $DC^2 = SD^2 + SC^2 - 2 \cdot SD \cdot SC \cdot \cos(\angle DSC)$ $18^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(\angle DSC)$ $324 = 225 + 225 - 450 \cos(\angle DSC)$ $450 \cos(\angle DSC) = 450 - 324 = 126$ $\cos(\angle DSC) = \frac{126}{450} = \frac{63}{225} = \frac{7}{25}$ Так как $SD = CD$, $\angle DSC = \angle CDS$. Следовательно, углы при основании $CD$ равны, то есть $\angle CDS = \angle DCS$. Пусть $\alpha = \angle CDS$. Тогда $2 \alpha + \angle DSC = 180^\circ$. $\alpha = (180 - \angle DSC) / 2$ Найдем $\sin(\angle CDS)$. Так как $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, то $\sin(\angle DSC) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle DSC)} = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$. Искомый синус угла: 0.96