4. Упростите выражение: а) tg α · ctg α - sin²β; б) sin(45°-α) / cos(45°+α); в) sin2α / (1 + cos2α); *г) (1 - sin⁴α) / (sin²α · (1 + sin²α)).

а) \( tg \alpha \cdot ctg \alpha - sin^2 \beta \) Т.к. \( tg \alpha = \frac{1}{ctg \alpha} \), то \( tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \). Следовательно, выражение упрощается до: \( 1 - sin^2 \beta \). Используя основное тригонометрическое тождество, получаем \( cos^2 \beta \). б) \( \frac{sin(45°-\alpha)}{cos(45°+\alpha)} \) Используем формулы приведения: \( cos(90° - x) = sin(x) \). \( cos(45° + \alpha) = cos(90° - (45° - \alpha)) = sin(45° - \alpha) \). Тогда \( \frac{sin(45°-\alpha)}{cos(45°+\alpha)} = \frac{sin(45°-\alpha)}{sin(45°-\alpha)} = 1 \). в) \( \frac{sin2\alpha}{1 + cos2\alpha} \) Используем формулы двойного угла: \( sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha \) и \( cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1 \). Тогда \( 1 + cos2\alpha = 1 + 2cos^2\alpha - 1 = 2cos^2\alpha \). \( \frac{sin2\alpha}{1 + cos2\alpha} = \frac{2sin\alpha cos\alpha}{2cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = tg\alpha \). г) \( \frac{1 - sin^4\alpha}{sin^2\alpha \cdot (1 + sin^2\alpha)} \) Разложим числитель как разность квадратов: \( 1 - sin^4\alpha = (1 - sin^2\alpha)(1 + sin^2\alpha) \). Тогда \( \frac{1 - sin^4\alpha}{sin^2\alpha \cdot (1 + sin^2\alpha)} = \frac{(1 - sin^2\alpha)(1 + sin^2\alpha)}{sin^2\alpha \cdot (1 + sin^2\alpha)} = \frac{1 - sin^2\alpha}{sin^2\alpha} \). Т.к. \( 1 - sin^2\alpha = cos^2\alpha \), то \( \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = ctg^2\alpha \).