17. Упростите числовое выражение $\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}}$.

Предположим, что выражение под каждым из корней можно представить в виде квадрата суммы или разности. Попробуем представить $27 + 10\sqrt{2}$ в виде $(a + b\sqrt{2})^2$: $$(a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = (a^2 + 2b^2) + 2ab\sqrt{2}$$ Тогда: $$a^2 + 2b^2 = 27$$ $$2ab = 10 \Rightarrow ab = 5$$ Попробуем $a = 5$ и $b = 1$. Тогда $a^2 + 2b^2 = 25 + 2 = 27$. Это подходит! Значит, $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = 5 + \sqrt{2}$. Аналогично, $\sqrt{27 - 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} = 5 - \sqrt{2}$. Тогда: $$\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}} = (5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) = 10$$ **Ответ:** 10