15. Точка О - центр окружности, на которой лежат точки А, В и С таким образом, что ОАВС – ромб (см. рис. 261). Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Поскольку OABC - ромб, все его стороны равны: OA = AB = BC = CO. Так как OA и OC - радиусы окружности, и OABC ромб, значит все стороны ромба равны радиусу. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Угол AOC является центральным углом и равен углу ABC, умноженному на два. Так как OABC - ромб, то угол OAB = угол OCB. Сумма углов в ромбе равна 360 градусов. Угол OAB + угол ABC + угол BCO + угол COA = 360 Так как OA = AB = BC = CO, то треугольники OAB и OBC - равнобедренные. Угол OAB = углу ABO = углу BCO = углу CBO. Пусть угол OAB = x. Тогда угол ABC = 180 - x. Так как OABC - ромб, то угол AOC = углу ABC. В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам. Следовательно, угол ABC = углу AOC. Поскольку OABC - ромб, то OA = AB = BC = CO. OA и OC являются радиусами окружности. Треугольники OAB и OBC – равнобедренные. Следовательно, угол OAB = углу ABO, и угол OCB = углу CBO. Поскольку OABC - ромб, то угол AOC = углу ABC. Треугольник OAB равнобедренный, значит, угол OAB = углу ABO. Также, так как OABC - ромб, то угол ABC = углу AOC. Пусть угол OAB = α. Тогда угол ABO = α. Угол AOB = 180° - 2α. Угол ABC = углу AOC. Угол AOC = 2 * угол ABC. Угол ABC = 120 градусов. Ответ: 120 градусов.