Тип 10. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC = 3, AD = 9, угол BAD = 45°. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Тогда AH = KD = (AD - BC) / 2 = (9 - 3) / 2 = 6 / 2 = 3. Рассмотрим треугольник ABH. Угол BAH = 45°, значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник, и BH = AH = 3. Высота трапеции равна 3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $S = \frac{(BC + AD)}{2} \cdot BH = \frac{(3 + 9)}{2} \cdot 3 = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$ Ответ: 18