3. Тип 15 № 339390: В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Пусть $AC = 84$, $BC = BM$. Так как BM - медиана, то $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42$. Значит, $AM = MC = 42$. Так как $BC=BM$, то треугольник BMC равнобедренный. Пусть угол $BCM=\alpha$, тогда угол $BMC=\alpha$. Угол $AMB$ является смежным с углом $BMC$, поэтому $\angle AMB = 180^{\circ} - \alpha$. Рассмотрим треугольник $ABH$. Так как BH - высота, то угол $BHA = 90^{\circ}$. Нам нужно найти $AH$. Для этого нужно найти, чему равен угол $A$. Треугольник $ABC$:$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C$. Угол $C$ нам известен. Сделаем дополнительное построение. Пусть медиана BM равна стороне BC, и углы BCM и BMC равны. Пусть угол BCM = x, значит, угол BMC тоже x. Тогда смежный угол BMA = 180 - x. В треугольнике AMB известны AM = 42. BM=BC. В треугольнике ABC известны BC = BM. Известно, что BH - высота, то есть AH перпендикулярна BC. Значит угол BHA = 90. Если медиана BM равна BC, то AH=MC. AH=42