Тип 18 № 4090: В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6. Запишите решение и ответ.

Так как AM и DM перпендикулярны, угол AMD = 90°. Угол A = 60°, значит угол D = 120° (так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°). Биссектриса угла A делит его пополам, следовательно, угол BAM = углу MAD = 30°. В треугольнике AMD угол MAD = 30°, угол AMD = 90°, значит угол ADM = 60°. Так как угол D = 120°, то угол CDM = 120° - 60° = 60°. Следовательно, DM - биссектриса угла D. Треугольник ADM - прямоугольный, AD = 2 * AM. Тогда AM - медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, AM=MD. Но CDM - равносторонний, значит DC=AD=MC=AM=MD. АМ - биссектриса, следовательно, BM = AB = 6. Тогда BC = BM + MC = 6 + 12 = 18. Периметр параллелограмма равен 2 * (AB + BC) = 2 * (6 + 18) = 2 * 24 = 48. Ответ: 48