2. Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «во второй раз выпал орёл» и «выпала ровно одна решка». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность объединения этих событий.

а) Чтобы проверить, являются ли события независимыми, нам нужно сравнить вероятность одного события при условии, что произошло другое, с безусловной вероятностью первого события. Пусть событие A = «во второй раз выпал орёл», и событие B = «выпала ровно одна решка». * P(A) = 1/2, так как монета симметричная, и вероятность выпадения орла равна 1/2. * P(B): чтобы найти вероятность выпадения ровно одной решки при трех бросках, рассмотрим возможные исходы: OOO, OOP, OPO, POO, OPP, POP, PPO, PPP. Ровно одна решка выпадает в трех случаях: OOP, OPO, POO. Таким образом, P(B) = 3/8. Теперь найдем условную вероятность P(A|B) - вероятность того, что во второй раз выпадет орел, при условии, что выпала ровно одна решка. Событие B (ровно одна решка) произошло в следующих случаях: OOP, OPO, POO. Из этих случаев орел во второй раз выпал только в случае OPO. Таким образом, $P(A|B) = \frac{1/8}{3/8} = \frac{1}{3}$. Сравним P(A) и P(A|B): $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(A|B) = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{2}
eq \frac{1}{3}$, события A и B не являются независимыми. б) Найдём вероятность объединения этих событий P(A ∪ B): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ Нам нужно найти $P(A \cap B)$ - вероятность того, что во второй раз выпал орёл и выпала ровно одна решка. Единственный случай, когда это происходит, это OPO. Вероятность этого случая равна $\frac{1}{8}$. Теперь мы можем найти $P(A \cup B)$: $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ Ответ: Вероятность объединения этих событий равна $\frac{3}{4}$.