2. Рис. 1. Дано: \(\cup AB : \cup AC = 5: 3\). Найдите \(\angle BOC\) и \(\angle ABC\)

Пусть \(\cup AB = 5x\) и \(\cup AC = 3x\). Тогда вся окружность составляет \(360^\circ\), следовательно, \[5x + 3x + \cup BC = 360^\circ\] \[8x + \cup BC = 360^\circ\] Центральный угол \(\angle BOC\) опирается на дугу BC. Угол \(\angle BAC\) опирается на дугу BC и является вписанным. Полная градусная мера окружности = \(360^\circ\). Вся окружность состоит из дуг AB, AC и BC. Так как \(\angle A = 60^\circ\), то дуга BC равна удвоенному углу A, то есть \(\cup BC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\). Теперь найдем x: \[8x + 120^\circ = 360^\circ\] \[8x = 360^\circ - 120^\circ\] \[8x = 240^\circ\] \[x = \frac{240^\circ}{8}\] \[x = 30^\circ\] Тогда \(\cup AB = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\) и \(\cup AC = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\). Угол \(\angle BOC\) – центральный, опирается на дугу BC, следовательно, \[\angle BOC = \cup BC = 120^\circ\] Угол \(\angle ABC\) – вписанный, опирается на дугу AC, следовательно, \[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ\] Ответ: \(\angle BOC = 120^\circ\), \(\angle ABC = 45^\circ\)