Решите неравенство: 2 sin²x - 3 sin x + 1 < 0

Давайте решим неравенство \(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 < 0\). 1. **Замена переменной** Пусть \(t = \sin x\). Тогда неравенство примет вид: \[2t^2 - 3t + 1 < 0\] 2. **Решение квадратного неравенства** Сначала найдем корни квадратного уравнения \(2t^2 - 3t + 1 = 0\). Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\). Корни: \(t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\), \(t_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1\). Таким образом, неравенство \(2t^2 - 3t + 1 < 0\) выполняется при \(\frac{1}{2} < t < 1\). 3. **Возврат к исходной переменной** Значит, \(\frac{1}{2} < \sin x < 1\). 4. **Решение неравенства относительно sin x** Найдем решения неравенства \(\frac{1}{2} < \sin x < 1\). \(\sin x > \frac{1}{2}\) при \(\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\). \(\sin x < 1\) при \(x
eq \frac{\pi}{2} + 2\pi k\). 5. **Запишем общее решение** Общее решение неравенства: \[\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] **Ответ:** \(x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).