3) Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра $DA$ параллельно плоскости $DBC$, и найдите площадь этого сечения.

1. Построение сечения: Пусть $M$ - середина ребра $DA$. Проведем через точку $M$ плоскость, параллельную плоскости $DBC$. Эта плоскость пересечет ребра $AB$ и $AC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Поскольку плоскость $MNK$ параллельна плоскости $DBC$, то $MN || DB$ и $MK || DC$. Так как $M$ - середина $DA$, то $N$ - середина $AB$, а $K$ - середина $AC$ (по теореме Фалеса). Следовательно, $MN = \frac{1}{2}DB = \frac{a}{2}$ и $MK = \frac{1}{2}DC = \frac{a}{2}$. Также $NK || BC$ и $NK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$. Таким образом, сечение $MNK$ - равносторонний треугольник со стороной $\frac{a}{2}$. 2. Нахождение площади сечения: Площадь равностороннего треугольника со стороной $x$ равна $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$. В нашем случае, $x = \frac{a}{2}$. $S_{MNK} = \frac{(\frac{a}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}$. Ответ: Площадь сечения равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.