2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро $l = 4$ см, угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$. а) Находим высоту пирамиды: 1. Пусть $O$ - центр основания пирамиды (квадрата), $A$ - вершина основания, $S$ - вершина пирамиды. Тогда $SA$ - боковое ребро, $SO$ - высота пирамиды. Угол $SAO = 45^\circ$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Так как $\angle SAO = 45^\circ$, то $\triangle SOA$ - равнобедренный, то есть $SO = AO$. 3. $SO = AO = l \cdot \sin(\alpha) = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. Ответ: Высота пирамиды равна $2\sqrt{2}$ см. б) Находим площадь боковой поверхности пирамиды: 1. Найдем сторону основания $a$. $AO$ - половина диагонали квадрата, тогда $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Из этого следует $a = \frac{2AO}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ см. 2. Найдем апофему $h_a$ (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды. Пусть $M$ - середина стороны основания. Тогда $SM = h_a$, $OM = \frac{a}{2} = 2$ см. Используем теорему Пифагора для треугольника $SOM$: $h_a = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. 3. Площадь одной боковой грани $S_{грани} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см$^2$. 4. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см$^2$. Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $16\sqrt{3}$ см$^2$.