290 Прямые a и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где X \(\in\) a, Y \(\in\) b, лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудалённой от этих прямых.

Доказательство: Пусть даны две параллельные прямые *a* и *b*. Рассмотрим произвольный отрезок XY, где X принадлежит прямой *a*, а Y принадлежит прямой *b*. Пусть M - середина этого отрезка. Нам нужно доказать, что все такие точки M лежат на прямой, параллельной *a* и *b*, и равноудаленной от них. 1. Построение: Проведём через точку M прямую *c*, параллельную прямым *a* и *b*. 2. Расстояние: Докажем, что прямая *c* равноудалена от прямых *a* и *b*. Пусть A и B — основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые *a* и *b* соответственно. Тогда MA \(\perp\) *a* и MB \(\perp\) *b*. Так как *a* || *b*, то точки A, M, B лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим прямым. 3. Середина: Рассмотрим трапецию XYY'X', где XX' и YY' - перпендикуляры к прямым a и b, проведенные через точки X и Y. Точка M - середина отрезка XY. Значит, расстояние от M до прямой a равно расстоянию от M до прямой b. 4. Параллельность: Так как прямая *c* проходит через середину любого отрезка XY и равноудалена от прямых *a* и *b*, то все середины отрезков XY лежат на прямой *c*, параллельной *a* и *b* и расположенной посередине между ними. Таким образом, мы доказали, что середины всех отрезков XY лежат на прямой, параллельной прямым *a* и *b* и равноудаленной от этих прямых. Что и требовалось доказать.